9的倍数就是能够写成“9×某个整数”的数。按小学和日常题目中最常见的正整数范围来看，9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144、153、162、171、180……它们会一直按照每次增加9的规律继续下去，因此9的倍数有无限多个。
9的倍数具体有哪些？
把9分别乘以1、2、3、4……，就能得到9的正倍数：
| 乘法算式 | 结果 | 乘法算式 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 9×1 | 9 | 9×11 | 99 |
| 9×2 | 18 | 9×12 | 108 |
| 9×3 | 27 | 9×13 | 117 |
| 9×4 | 36 | 9×14 | 126 |
| 9×5 | 45 | 9×15 | 135 |
| 9×6 | 54 | 9×16 | 144 |
| 9×7 | 63 | 9×17 | 153 |
| 9×8 | 72 | 9×18 | 162 |
| 9×9 | 81 | 9×19 | 171 |
| 9×10 | 90 | 9×20 | 180 |
所以，若题目要求“写出9的倍数”，通常可以写成：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90……。省略号表示后面还有无数个数，并不是列表到90就结束了。
为什么9的倍数会按照每次增加9的规律排列？
相邻两个倍数分别可以表示为9×n和9×（n+1）。后一个数减去前一个数是：
9×（n+1）－9×n＝9
因此，9的倍数会形成一个等差数列，每两个相邻数之间相差9。例如，45后面是54，54后面是63，63后面是72。只要在已知倍数上继续加9，就能找到下一个倍数；只要减去9，也能找到前一个倍数。
如果把0也算在自然数范围内，那么0也是9的倍数，因为9×0＝0。按照这种写法，9的非负倍数是0、9、18、27、36……不过，许多基础练习在列举“9的倍数”时，默认从最小正倍数9开始，所以要以题目对自然数或倍数范围的约定为准。
从整数范围看，9的倍数还包括负数，例如－9、－18、－27等，因为9×（－1）＝－9，9×（－2）＝－18。小学常规题一般只列正倍数，除非题目明确要求“所有整数倍数”或涉及数轴、正负数。
已经知道倍数的排列规律，怎样判断一个数是不是9的倍数？
判断一个较大的数是否为9的倍数，不一定要把所有倍数逐个列出来。可以使用各位数字之和是否为9的倍数这一规律：
- 如果一个数的各位数字相加后，结果是9、18、27、36等9的倍数，那么原数就是9的倍数。
- 如果各位数字之和不是9的倍数，那么原数就不是9的倍数。
例如，234的各位数字之和是2＋3＋4＝9，所以234是9的倍数；567的数字之和是5＋6＋7＝18，所以567也是9的倍数。再看245，2＋4＋5＝11，11不是9的倍数，因此245不是9的倍数。
| 要判断的数 | 各位数字之和 | 判断结果 |
|---|---|---|
| 108 | 1＋0＋8＝9 | 是9的倍数 |
| 999 | 9＋9＋9＝27 | 是9的倍数 |
| 1,008 | 1＋0＋0＋8＝9 | 是9的倍数 |
| 245 | 2＋4＋5＝11 | 不是9的倍数 |
| 1,234 | 1＋2＋3＋4＝10 | 不是9的倍数 |
题目要求列出一定范围时，应该写到哪里？
如果题目限定了范围，就要同时满足“是9的倍数”和“在指定范围内”这两个条件。例如，100以内的正整数倍数是9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99；100以内一共有11个正倍数。因为最大的乘数不能超过100÷9，所以可以取9×1到9×11。
如果题目要求列出200以内的正倍数，就继续写到198，即9×22＝198，不能把207写进去，因为207已经超过200。若题目写的是“100到200之间的9的倍数”，则应从108开始，一直列到198，是否包含边界100和200，要按照“之间”“不超过”或“包括”这些表述判断。
因此，回答“9的倍数有哪些”时，最完整的概括是：9的正倍数为9n，其中n取1、2、3……；如果把0纳入范围，则还包括0；如果讨论全部整数，还包括相应的负倍数。在普通列举题中，直接写出9、18、27、36、45……即可。
9的倍数和9的因数有什么不同？
这两个概念容易混淆。9的倍数是用9乘出的一组数，数量无限，例如9、18、27、36……；9的因数则是能够整除9的数，只有1、3、9。也就是说，题目问“9的倍数有哪些”时，要不断进行“9乘以某个数”的运算，而不是只在1、3、9中选择。
判断一个数是否属于9的倍数时，可以优先看题目范围：范围较小时直接按9递增列举，范围较大时用各位数字之和判断。这样既能准确找到符合条件的数，也能避免把9的因数和9的倍数混在一起。
